角度の単位（rad）とは？【番外１】

角度の単位（rad）ラジアンってよく登場するんだけど、イマイチよく分かっていないという人は多いだろう。普通に人と話をするときには（°）で問題はない。しかし、公式の中や理論式の中では（rad）を使わないとならない。

今回は番外編として、角度の単位（rad）について簡単にまとめよう。

まずは円周率 \(\pi\) について

ラジアンの話に入る前に円周率について少しだけ説明しよう。

円周率って当たり前みたいに使っているけど、そもそも何だろうか？平たく言うと、円の直径に対する円周の長さの比率を表したものだ。つまり、円周の長さは直径の何倍か？を表したものが文字通り「円周率」ってわけだ。

ある直径 d の円があるとすると、その円周の長さは\(\pi d\)となる。

（少し語弊があるかもしれないが）この円周の長さを利用して、半径”1”のときの（円弧の長さ）を角度の大きさを表現する物差しにしたのが（rad）ラジアンだ。

こういうものには「なんで？」とかそんな疑問は持ってはいけない。1（g）ってこのぐらいの重さなんですよーと言われて「なんでそれを1（g）にしたんだ！」って言っても仕方がないだろう。（実際には理由がないってことはないだろうけど、そこまで掘り下げる必要はないってことだ）

（rad）ラジアンとは？

もう一度言おう。半径”1”のときの（円弧の長さ）を角度の大きさを表現する物差しにしたのが（rad）ラジアンだ。言葉だと分かりにくいが、上の絵を見てもらうと少しはイメージできると思う。

どういうことか？具体的に図を見ながら考えた方がいいだろう。

まず、分かりやすく丸々一周分、つまり360（°）はどう表現できるだろうか？さっき説明した通り、半径1の円の360（°）分の円弧の長さ（つまり円周の長さ）は直径に円周率\(\pi\)をかければいいので、”2\(\pi\)”になる。これが360（°）に相当するということなので、360（°）= 2\(\pi\)（rad）ってことだ。

では次に円から一部を切り出した扇型を考えてみよう。例えば、下の絵のように円弧の長さが ”1” になるように扇型を切り出した場合、その先端の角度は定義から 1（rad）になる。さらに、もし円弧の長さが ”2” になるように切り出せば、先端の角度は 2（rad）だ。

理解できただろうか？円弧の長さがそのまま角度の大きさを表しており、このときの単位を（rad）と呼ぶことにしたわけだ。

では、任意の角度を（rad）で表したいときはどうすれば良いか。例えば、先端の角度が★（°）の場合を考えてみよう。これも、要は半径 ”1” のときに円弧の長さがどれくらいになるかを考えればいいので、下の絵のように考えれば簡単だ。つまり、任意の角度★（°）は \(2\pi\times\large\frac{★}{360}\) というように表すことができる。★のところに自分が求めたい角度（°）を入れれば（rad）に変換される。

（rad）ラジアンの最も大事な性質

上で説明した（rad）ラジアンの定義をより一般的なケースに拡張してみよう。そうすると、最も重要な性質が見えてくる。

さっき見た半径 “1” で角度 1（rad）の扇型の上に、同じ角度で半径 ” r ” の扇型を考えてみよう。さっき説明した通り、半径 “1” の場合の円弧の長さは “1” だ。では、半径 ” r ” の場合はどうだろう？この２つの扇型は相似形なので、半径が r 倍になったということは、円弧の長さも r 倍されて、 ” r ” になる。

先端の角度が 2（rad）ときも同じように考えると、半径 ” r ” の場合の円弧の長さは ” 2r ” となることが分かるだろう。

ここで何が言いたいかというと、ある角度 \(\theta\)（rad）を先端に持つ扇型の円弧の長さは、半径に \(\theta\)（rad）をかけたものになる、ということだ。

これは非常に重要な性質だ。材力だけでなく、物理系の学問でときどき「\(\theta\)が十分小さいという条件下で\(\sin\theta\)を\(\theta\)で近似する」みたいな近似が出てくるが、これは角度（rad）の性質を利用したものだ。材力でも頻繁に登場する。

なんでこんな近似ができるか、については次の記事で解説したい。

「sinθをθで近似する」ってどうしてそうなるのか詳しく説明します。【番外２】

とにかくここでのポイントは次の通り。